蓝眼睛与红眼睛

澳大利亚的华裔数学神童陶哲轩曾在网上贴出来一个问题 The blue-eyed islanders puzzle 让大家思考,逗大家玩儿。

说一个岛上有100个人,其中有5个红眼睛,95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

  1. 他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。
  2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
  3. 一旦有人知道了自己的眼睛颜色,他就必须在第二天中午自杀。

注:虽然题设了有5个红眼睛,但岛民是不知道具体数字的。(因为互相能看见,所有岛上的蓝眼睛的人知道岛上有红眼睛)

某天,有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起狂欢的时候,不留神就说了一句话:“你们这里有红眼睛的人。

最后的问题是:假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?

结果,岛上在第五天后,有5个人自杀,且都是红眼睛的人,请问为什么?

证明过程:

数学归纳

此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的:如果这个岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第N天,他们全部都会自杀。具体到本题则是,在第5天,这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。(尊重原题,补:其他蓝眼睛在红眼睛集体自杀后,知道自己的眼睛颜色,也跟着自杀)。

如果这个岛上只有 1 个红眼睛,其他人都是蓝眼睛。那么,当旅行者说了这句话之后,此人立刻就会知道自己是红眼睛,因为他看到的其他人都是蓝眼睛,他就会在当天自杀。即,当 n 取第一个值 n0 = 1 时,命题成立。

假设当这个岛上有 N 个红眼睛的时候,在旅行者说了这句话之后的第N天,这些红眼睛会全部自杀。

那么,当这个岛上有 N + 1 个红眼睛的时候,在每个红眼睛看来,岛上都确定有N个红眼睛,并等待着他们在第N天自杀。而在第N天,大家都没有自杀。所以一到第 N + 1 天,每个红眼睛都明白了这个岛上还有第 N + 1个红眼睛——他自己。于是大家都在第 N + 1 天自杀了。

所以命题得证:如果这个岛上有 N 个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第 N 天,他们全部都会自杀。

穷举推理

如果上述证明还让人有疑惑的话,也可以改用穷举法来证明。

当岛上只有一个红眼睛的时候,在旅行者说完这句话的当天,他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天,这两个红眼睛都在等着对方自杀,但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛,于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理,当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话,每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀,但他们没有自杀。所以到了第三天,大家都明白了自己也是红眼睛,就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题:如果岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说完这句话后的第N天,这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是,到了第五天,这五个红眼睛一起自杀。

是悖论吗?

但是,实际想想,旅行者说了一句“这个岛上有红眼睛的人?” 而这个事实岛上人已经知道了,所以这个问题看似是一个悖论(paradox)。

共有知识与公共知识

其实,这个问题并不是一个悖论。

首先,岛上的人,一部分人心里都知道岛上有红眼睛的人(蓝眼睛的人能看到红眼睛的人,红眼睛的人能看到其他红眼睛的人(如果红眼睛的人数大于 1)),但是,每个人并不知道其他人是否已经知道这个岛上有红眼睛。旅行者的话,也就让大家都知道岛上有红眼睛的人,并且其他人也都知道这个事实。比如说,当只有一个红眼睛的人时,所有蓝眼睛的人都知道有红眼睛,但是红眼睛的人不知道。

  • 共有知识: 所有人都知道的知识称为共有知识。
  • 公共知识:1.知识是共有知识,2.所有人都知道其他人也知道这个知识。